▶ 👍 Aproximación, redondeo y errores 🥇

Cuando te enfrentas a un número real, lo más probable es que tenga infinitas cifras decimales (periódicas o no), sin embargo, no puedes escribirlas todas ya que nunca acabarías, así que escribes unas cuantas cifras decimales y ésas son las que usas para tus cálculos posteriores, o incluso puede que sean tus soluciones. También puede ocurrir que estés usando una notación científica que haga que no escribas todos y cada uno de los dígitos del número en cuestión.

Pero claro, si haces esto, lo que escribes no es el número real que debes si no uno muy parecido. Este número que escribes se llama aproximación. Por otro lado, lo que te desvías del valor real del número es lo que se llama error. Así, la pregunta que te debes hacer es ¿existe una forma de que el error sea mínimo? y la respuesta es sí. Para eso es necesario redondear.

Como ves son cosas distintas:

• La aproximación es el número que escribes en sustitución del que deberías escribir.
• El redondeo, es cómo escribes esa aproximación.
• El error es la diferencia entre lo que escribes (aproximación) y el número que deberías haber escrito.

En esta entrada, como verás es un punto de partida a cada uno de los epígrafes anteriores: aproximación, estimación, redondeo, errores. Lo he decidido hacer así porque de otra manera la entrada sería muy larga.

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¿Qué es la notación científica?

Como me imagino que sabes, la gran mayoría de la gente usa el Sistema Internacional de unidades (SI). No voy a entrar aquí en ello, simplemente lo necesito para poder centrar lo que te voy a contar ahora. El caso es que en el SI la unidad de longitud es el metro. Si lo que estamos midiendo son cosas a escala humana es una unidad muy útil, y todos tenemos una idea de lo que son $\phantom{\Huge H}10\ m$, $\phantom{\Huge H} 300\ m$ o incluso $\phantom{\Huge H} 1000\, m$; y también podemos intuir la longitud de algo que mide $\phantom{\Huge H} 0,75\ m$ o $\phantom{\Huge H} 0, 01\ m$. Nos puede costar un poco más o un poco menos pero grosso modo sabemos de qué se trata.

Ahora imagina que quieres medir, en metros ($m$) las siguientes longitudes:

• Diámetro de un cabello humano.
• Diámetro de una célula.
• Tamaño de una mitocondria.
• Longitud de una cadena de butano (su fórmula es $CH_3-CH_2-CH_2-CH_3$).
• Distancia media de la Tierra al Sol.
• Perímetro del ecuador terrestre.
• Anchura del Sistema Solar.

Como puedes comprender, dar cada una de estas longitudes en metros «a secas» implicaría escribir demasiados dígitos. Como ejemplo te diré que:

• El cabello humano tiene un diámetro de $\phi\approx 70\mu m=0,000070\ m$
• Una mitocondria mide $L\approx 0,75 \mu m=0,000 000 75 \ m$
• Distancia de la Tierra al Sol: $d=150\ 000\ 000 \ km=150\ 000 \ 000\ 000\ m$

Es difícil referir todas estas cantidades al patrón metro, y por ello se usan múltiplos y submúltiplos, pero si quisiéramos referirlo todo a metros deberíamos usar la notación científica que no es más que lo siguiente: escribir un dígito, escribir una coma, escribir uno o varios decimales y multiplicar todo lo anterior por una potencia de diez.

La ventaja evidente que tiene la notación científica es que permite comparar muy rápidamente cantidades grandes entre sí. Por ejemplo, cantidades del orden de los millones llevarán asociados una potencia del orden de $10^6$ mientras que cantidades del orden de los mil millones llevarán asociadas potencias $10^9$. Así podemos ver de forma muy sencilla y rápida cuál es la cantidad más importante en una operación.

Ya te he introducido la palabra orden cuando te he dicho cosas como «una potencia del orden de …» pues bien, este es un concepto importante pero muy intuitivo:

El orden de magnitud

Cuando tienes una cifra escrita en notación científica, el orden de magnitud es el exponente al que va elevado el número 10. Así pues el orden de magnitud es una potencia y por tanto la diferencia entre $10^2$ (orden de magnitud: 2) $10^4$ (orden de magnitud: 4) no es que el segundo número sea el doble que el primero. NO. Significa que el segundo número es 100 veces mayor (dos órdenes de magnitud).

Esto es muy, pero que muy importante; y es preciso que lo tengas muy claro:

Si dos números se diferencian en $n$ órdenes de magnitud, no significa que uno sea $n$ veces mayor que el otro, si no $10^n$ veces mayor que el otro (lo cual es muchísimo más)

Es un fallo muy sencillo de evitar, y mi experiencia me dice que no es tan difícil encontrárselo en el día a día. Así que estate al loro y no te confundas

¿Qué relación tiene la aproximación y el redondeo?

¿Y todo lo que te he contado antes sobre la notación científica qué tiene que ver con las aproximaciones y los redondeos? Pues mucho. Imagínate que debes escribir la siguiente distancia $d=1\ 254\ 5 48\ 540\ 214\ 051\ m$.

Como este número es muy complicado de manejar decides escribirlo en notación científica y escribes: $d_1=1,2545 \cdot 10^{15}$ porque honestamente ¿acaso son muy importantes los últimos $51\ m$ que recorres?

Pero ¡¡espera un poco!! el número escrito no es su valor real, es su aproximación ya que has despreciado la última parte del número. Ahora tú vas a trabajar con el número escrito en notación científica, que realmente es el siguiente número $d_1=1\ 254\ 5 00\ 000\ 000\ 000\ m$ Como ves, no son lo mismo; se parecen pero no son lo mismo. Lo que has hecho ha sido aproximar el número.

Ahora vamos a fijarnos en el número que has escrito en notación científica, $d_1=1,2545 \cdot 10^{15}$. ¿Podrías haber escrito $d_2=1,2546 \cdot 10^{15}$? ¿o bien $d_3=1,2544 \cdot 10^{15}$? Cualquiera de estos tres números se parece bastante a tu número inicial (en principio son buenas aproximaciones), pero ¿cuál está mas cerca de su valor verdadero? Es aquí donde entran en juego los conceptos de redondeo y truncamiento.

Todo se basa en el número que sigue al dígito por donde cortas. Vamos a verlo:

¿Qué es truncar?

Truncar es convertir, todos los dígitos a partir de uno dado, en ceros

Es lo que hemos hecho antes cuando decimos que la distancia es $d_1=1,2545 \cdot 10^{15}=1\ 254\ 5 00\ 000\ 000\ 000\ m$ como ves, hemos conservado $1254$ pero el resto de dígitos los hemos transformado en ceros (11 ceros en concreto).

¿Qué es redondear?

Redondear es modificar el último dígito que escribes para conseguir la mejor aproximación

Cuando se trunca no tienes en cuenta el error que cometes. Esto es, por ejemplo, que si quieres truncar $199$ en las centenas vas a escribir $100$. Pero $199$ está más cerca de $200$ que de $100$ por lo que sería más correcto aproximarlo a $200$.

Esto último es redondear, lo que haces es pensar ¿de donde está más cerca? ¿de 100? ¿de 200? y eliges la mejor opción.

Si volvemos a nuestro número gigantesco de $d=1\ 254\ 5 48\ 540\ 214\ 051\ m$ y lo vamos a aproximar a las cinco primeras cifras, está claro que tenemos que escribir un $1$, un $2$, un $5$, un $4$ y ¿luego: $4,\ 5,\ 6$? Claramente es un $5$ lo que debes escribir.

Es decir habrá que escribir $1\ 254\ 500\ 000\ 000\ 000$ si lo que queremos es redondear (y en este caso coincide con el valor si lo truncamos).

Vamos a ver algún ejemplo más:

Veamos qué ocurre en cada fila:

• $12265$ Vamos a ver qué hemos hecho en cada columna:
  • Cuando Truncamos a las decenas, simplemente convertimos las unidades en 0 y hemos acabado.
  • Para redondear a las centenas tenemos que elegir entre $12200$ y $12300$, y puesto que este último número es más cercano al valor verdadero es lo que elegimos.
  • Cuando truncamos a millares, tan solo convertimos las centenas, decenas y unidades en 0 y ya hemos acabado.
• $687311$ Si te fijas aquí hemos hecho lo siguiente:
  • Cuando truncamos a las decenas, lo que hacemos es convertir las unidades en 0 y ya hemos acabado.
  • Para redondear a las centenas escribimos $687300$ porque este número es el más cercano al valor real que estamos estudiando.
  • Si lo que queremos es truncar a los millares, convertimos las centenas, decenas y unidades en 0.
• $99458$ Si analizamos este último caso vemos que:
  • Si truncamos a las decenas… como antes, tan sólo tenemos que convertir las unidades en 0.
  • Al redondear a las centenas, escribimos $99450$ y ahora te explico por qué y por qué no lo dejamos como $99400$.
  • Por último, para truncar a los millares… … … … … convertimos las centenas, decenas y unidades en 0 y con eso acabamos.

Dos consideraciones te debo hacer sobre lo anterior:

• Debes tener en cuenta que cuando digo convertir, lo hago en itálica, es decir, no es que por arte de magia convierta un número en 0 por que sí, si no porque es el algoritmo (la regla que se usa ¡¡vaya!!).
• Un caso especial es cuando el número que sigue al número por el que redondeamos es un $5$ (como en el último caso de la tabla anterior). Si eso ocurre, por convenio se aumenta en una unidad el número por el que redondeamos.

Pero… ¿cuál es el error que se comete?

Hablar sobre errores daría para hacer varias entradas más. Por eso voy a centrarme en las cosas más importantes y que debes conocer.

Lo primero que te debo decir es que hay varios tipos de errores. En clase, cuando trato este tema siempre hago la siguiente pregunta:

— ¿Qué es peor: confundirse $2\ cm$ en la longitud de una hormiga o $1000\ km$ en la distancia de la Tierra al Sol?

Es muy curioso observar el debate posterior a esta pregunta, aunque es muy fácil hacer ver a los alumnos que hay dos cuestiones a tener en cuenta y dos formas distintas de enfrentarse a los errores.

• Por un lado está el valor del error absoluto. El erro absoluto consiste en cuánto te equivocas con respecto al valor verdadero. En nuestro ejemplo de la hormiga y el Sol, es mucho más importante equivocarse 1000 km que solo 2 cm.
• Por otro lado está el valor del error relativo. Ahora lo importante es cuánto te equivocas, teniendo en cuenta el valor auténtico de lo que estás midiendo; así como la definición de error absoluto es muy intuitiva, la de error relativo implica que tienes que poner en comparación lo que te equivocas y lo que estás midiendo. Por eso, equivocarte 2 cm en la longitud de una hormiga es mucho peor que 1000 km en la distancia Tierrra-Sol.

Vamos con las fórmulas y los números:

Error absoluto

La fórmula del error absoluto es la siguiente:

$$E_a=|m_0-m|$$

¿Qué significa cada término?

• $m_0$ es lo que mide realmente lo que estamos observando.
• $m$ es lo que tú puedes medir: con un metro, un calibre, un cronómetro, un termómetro… con lo que sea que estés midiendo.
• $E_a$ es el error absoluto. Se toma el valor absoluto por dos cuestiones:
  1. Casi nunca (o nunca) se sabe el valor real de lo que se mide $m_0$.
  2. Tomando el valor absoluto nos evitamos que aparezcan cantidades negativas y así nos podemos centrar en lo que realmente importa: cuanto nos desviamos del valor real.

Ahora podemos estudiar el error relativo

Error relativo

La fórmula del error absoluto es la siguiente:

$$E_r=\frac{E_a}{m_0}$$

¿Qué significa cada término?

• $E_r$ es el error relativo.
• $E_a$ es el error absoluto.
• $m_0$ es lo que mide realmente aquello que estamos estudiando.

A veces el error relativo se multiplica por $100$ y los resultados se dan en porcentajes.

El error relativo nunca, nunca, nunca tiene unidades. Es una magnitud adimensional. Si a un error relativo le colocas unas unidades al lado, tu profe, que no te tiene manía, te lo va a contar como mal.

Como puedes intuir, la diferencia entre error relativo y absoluto es que este último te da números en bruto mientras que el error relativo te permite comparar distintas mediciones.

Veamos ahora los errores absoluto y relativo del ejemplo que te he puesto antes. Vamos a suponer que el valor real de la longitud de una hormiga es $3\ cm$ (es una hormiga muy grande), y que el valor real de la distancia Tierra-Sol es $150\ 000\ 000\ km$.

Como puedes observar el error relativo cometido al medir la hormiga es seis órdenes de magnitud mayor (es un millón de veces mayor). Y es muy importante saber esto, porque nos está diciendo que la precisión del instrumental para medir distancias astronómicas es muy buena, mientras que carecemos de instrumental útil para medir en la escala de los centímetros.

Y todo esto… ¿cómo lo calculo yo ?

Esta pregunta no es nada fácil de responder Y todo es porque nunca sabemos el valor real de lo que estamos midiendo. Así que lo máximo que se puede hacer es acotar el error, o sea, lo único que podemos es decir «el error es menor de…» lo cual, si lo piensas, es mucho.

Hallar la cota del error tiene su trabajo y tiene que ver con los dígitos significativos. No te voy a cotar qué es un dígito significativo, pero sí te voy a decir que:

El error cometido en una medición es la mitad del orden de magnitud de la última cifra significativa.

Lo anterior parece un trabalenguas pero es muy sencillo:

• Si hemos redondeado una cifra a $12,32$ la última cifra significativa es 2 (centésimas), y por tanto el error cometido es $E_a<0,005$
• Si otro número lo redondeamos a las centenas como $42300$, la última cifra significativa es 3 (centenas) y así podemos calcular que el error cometido es $E_a<50$
• Otro ejemplo, si tenemos un número redondeado a las décimas como $419,2$, la última cifra significatica es 2 y el error cometido es $E_a<0,05$

Como ves acotar el error es muy sencillo y te permite saber qué va a pasar con tus cálculos; ya que los errores se van arrastrando por los cálculos y al final pueden llegar a invalidar un resultado.

Espero que con esta entrada te haya quedado claro los conceptos de aproximación, redondeo, truncamiento y error. Cualquier comentario que desees hacer, puedes dejarlo más abajo

 Gracias por leerme 

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Bibliografía