▶ 👍 Peano y los naturales 🔢 🥇

En Educación secundaria los números naturales se introducen como aquellos que nos permiten contar elementos de un conjunto. Pero esta definición no se sostiene desde el punto de vista lógico y matemático

En esta entrada te contaré como definir los números naturales a partir de los axiomas de Peano (matemático italiano, 1858-1932). De esta manera tenemos un punto de partida sólido para construir algebraicamente los enteros y a partir de estos los racionales.

Los números naturales.

Como ya te he comentado en la introducción, en esta entrada te voy a hablar de la construcción de los números naturales. Hay varias formas de construir los números naturales: a través de la teoría de conjuntos y la cardinalidad de los mismos; o bien a través de un sistema axiomático. De los varios sistemas axiomáticos que construyen los números naturales, yo he elegido hacerlo a través de los Axiomas de Peano.

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Qué son los números naturales.

Definir los números naturales es sencillo desde una perspectiva intuitiva. Como te he dicho antes, los naturales, son aquellos que usamos para contar. Pero aunque esta definición se entiende por todo el mundo, implicaría una gran complejidad matemática siquiera para demostrar la conmutatividad de la suma, pues nos obligaría a estudiar casos y más casos particulares. Además, que en particular seguimos sin definir los números naturales: podríamos seguir contando los elementos de determinado conjunto simplemente poniéndolos en relación con las cuentas de un collar, por ejemplo.

Por lo tanto, debemos construir los números naturales de tal manera que sean consistentes

Cómo se enuncian los axiomas de Peano.

Los axiomas de Peano se enuncian de la siguiente manera:

Existe un conjunto $N$, una aplicación $s:N\longrightarrow N$ y un elemento $0$ de modo que se cumple:

P1: $0\in N$.
P2: Si $n\in N$ entonces $s(n)\in N$.
P3: No existe ningun $n\in N$ tal que $s(n)=0$.
P4: Si $m,n\in N$ y $s(m)=s(n)$, entonces $m=n$.
P5: Si $A\subset N$ tiene la propiedad de que $0\in A$ y siempre que $n\in A$ también $s(n)\in A$, entonces $A=N$.

Nota: como puedes ver la aplicación $s$ es la que asigna a cada número su sucesor.

A partir de ahora al conjunto de los números naturales lo representaremos con la letra modificada $\mathbb{N}$.

Los axiomas anteriores, entre otras cosas, nos están indicando lo siguiente:

P1 y P3 significan que los números naturales tienen primer elemento.
P2, junto P4, nos está indicando que existe una aplicación inyectiva que asigna a cada número su sucesor.
P3 nos garantiza que esa aplicación no es suprayectiva.
P5 es el axioma de inducción del que te hablaré a continuación. Tengo una entrada dedicada a este principio la cual te recomiendo.

Operaciones en los números naturales. Propiedades.

Vamos a definir dos operaciones distintas en $\mathbb{N}$ que son las siguientes:

Suma de números naturales.

Podemos definir en $\mathbb{N}$ una operación interna, que denominaremos suma, de la siguiente manera:

Definimos por recurrencia la suma $(+)$ de dos números naturales de la siguiente manera:

$m+0=m\quad \forall\, m\in \mathbb{N}$.
$m+s(n)=s(m+n) \quad\quad \forall\, m, n \in \mathbb{N}$.

No es nada difícil deducir, entre otras, las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa: $a+(b+c)=(a+b)+c$
Propiedad conmutativa $a+b=b+a$
Elemento neutro (aparece en cómo hemos definido la suma) $a+0=0+a=a$
Propiedad cancelativa: $a+\rho =b+\rho \quad \Rightarrow \quad a=b$

En particular, no existe elemento simétrico de la suma (que en el caso de la suma se denomina opuesto).

Producto de números naturales

Definimos el producto en $\mathbb{N}$ como una operación interna de la siguiente manera:

Definimos por recurrencia el producto $(\cdot)$ de dos números naturales de la siguiente manera:

$m\cdot 0=0 \quad \forall\, m\in \mathbb{N}$.
$m\cdot s(n)=(m\cdot n) +m \quad \forall\, m, n \in \mathbb{N}$.

Al igual que antes con la suma, es muy sencillo deducir las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Propiedad conmutativa $a\cdot b=b\cdot a$
Elemento neutro (no debes confundirlo con el elemento neutro de la suma) $a\cdot 1=1\cdot a=a$
Propiedad canelativa: $a\cdot \rho=b\cdot \rho\quad \Rightarrow a=b$

En particular, no existe elemento opuesto del producto (que en este caso se denomina inverso).

Además los números naturales verifican la propiedad distributiva, esto es:

Para todo $a,b,c \in \mathbb{N}$ se cumple que:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Estructura algebraica de los números naturales.

Dentro de las tres estructuras algebraicas principales: grupo, anillo y cuerpo; la estructura algebraica fundamental es la de grupo. Sin embargo los números naturales NO poseen esta estructura. Te recuerdo rápidamente qué debe cumplir un conjunto y las operaciones asociadas para poder ser consideradas grupo, anillo o cuerpo:

Se dice que un conjunto y una operación asociada $(A, \star)$ poseen la estructura de grupo si verifican:
1. La operación $\star$ es interna.
2. Existe elemento neutro de $\star$ en $A$.
3. Para todo elemento $a\in A$ existe en $A$ el elemento simétrico respecto de $\star$
4. Además, si la operación $\star$ es conmutativa, entonces se denomina grupo conmutativo o abeliano.
Se dice que un conjunto y dos operaciones asociadas $(A,\star, \bigtriangleup)$ poseen estructura de anillo si verifican:
1. $(A,\star)$ es un grupo conmutativo.
2. La operación $\bigtriangleup$ es asociativa.
3. La operación $\bigtriangleup$ es distributiva repecto de la operación $\star$
4. Si además la operación $\bigtriangleup$ es conmutativa, se denomina anillo conmutativo.
Se dice que un conjunto y dos operaciones asociadas $(A,\star, \bigtriangleup)$ poseen estructura de cuerpo si verifican:
1. Las operaciones $\star$ y $\bigtriangleup$ son:
  1. Asociativas en $A$.
  2. Conmutativas en $A$.
2. La operación $\bigtriangleup$ es distributiva respecto de $\star$ en $A$.
3. Existen dos elementos, distintos, en $A$, llamados 0 y 1, que son los neutros de $\star$ y $\bigtriangleup$ respectivamente.
4. Todo elemento $a\in A$ posee elemento opuesto para $\star$.
5. Todo elemento $a\in A$ con $a\neq 0$ posee elemento inverso para $\bigtriangleup$.

Como ves, los números naturales carecen de elemento opuesto para la suma $+$ y de inverso para el producto $\cdot $, por lo que ni siquiera son un grupo.

Los números naturales poseen estructura de monoide tanto para la suma como para el producto.

La estructura algebraica de $(\mathbb{N},+)$ es la de monoide conmutativo

La estructura algebraica de $(\mathbb{N},\cdot )$ es la de monoide conmutativo

Es importante que sepas que a partir de los números naturales podemos construir, mediante una relación de equivalencia, los números enteros $(\mathbb{Z})$. Pero esto lo dejamos para otra entrada.

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Bibliografía:

Delgado Pineda, M.; Muñoz Bouzo, M. J.; 2010; Lenguaje matemático, conjuntos y números; Ed. Sanz y Torres; Madrid; ISBN: 978-84-82948-30-7.
Lentin, A., Rivaud, J.; 1971; Algebra moderna; Ed. Aguilar; Madrid.
https://www.uv.es/ivorra/Libros/Al.pdf [consultado 15-09-2020]