▶ 🚩 Progresión aritmética 1️⃣➰3️⃣➰3️⃣➰5️⃣➰7️⃣

Entrada ESO

Las progresiones aritméticas se empiezan a estudiar en 3ESO, y hoy voy a contarte lo que debes saber sí o sí para poder enfrentarte a ellas con éxito.

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Antes de nada, quiero que te des cuenta que ya conoces algunas de ellas. Por ejemplo, puedes seguir las siguientes series sin dificultad:

$$1,2,3,4,\ldots$$

$$2,5,8,11,\ldots$$

$$10,6,2,-2,\ldots$$

Supongo que también te habrán contado la existencia de progresiones geométricas, y también te digo que hay otros muchos tipos de progresiones que no se estudian en la ESO (ni falta que hace). En esta entrada veremos cómo podemos definir una progresión aritmética y cómo podemos calcular sus elementos. En otra entrada estudiaremos la suma de una progresión aritmética, que ya verás que es muy sencilla.

¿Qué es una progresión aritmética?

Se dice que una serie de números está en progresión aritmética si la diferencia entre dos consecutivos es constante. Esto significa que para pasar de uno al siguiente debemos ir sumando siempre la misma cantidad.

Y atención!!! Cuando digo sumar, también me estoy refiriendo a restar. Por ejemplo en las progresiones que te he puesto al principio:

$$1,2,3,4,\ldots$$

En esta progresión aritmética para pasar de un número al siguiente simplemente sumamos 1 y así podemos continuar:

$$1,2,3,4,\color{red}5, 6,7,8,9,10,\ldots$$

Sin embargo en esta otra progresión aritmética:

$$10,6,2,-2,\ldots$$

Lo que hacemos es ir restando 4 cada vez, así que podemos continuar de la siguiente manera:

$$10,6,2,-2,\color{red}-6,-10,-14,-18,\ldots$$

Como ves en ambos casos hemos sumado un número:

• En el primer caso sumamos el número 1.
• En el segundo caso sumamos el número -4.

Notación de una progresión aritmética

Vamos a nombrar una progresión arimtmética de la siguienet manera: $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\ldots$ Lo primero que debes tener en cuenta y hacer esfuerzos para no confundir es la diferencia entre el lugar de un elemento ($n$) de una progresión aritmética y su valor ($a_n$). Observa que unas veces lo pongo entre llaves, y me refiero a la sucesión entera ($\{a_n\}$) y otras veces sin llaves, y me refiero al valor de número que ocupa la sucesión en el lugar $n$ ($a_n$).

Es posible que la siguiente tabla te lo aclare todo un poco:

• Por un lado las sucesiones se nombran entre llaves. Las podríamos haber llamado con nombres propios como Ana, Juan, María o Rafael, pero se nombran entre llaves: $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\ldots$
• En segundo lugar está el lugar que ocupa un elemento dentro de la sucesión .
• Y en tercer lugar está el valor de ese elemento.

De esta manera, puedes ver $a_2=b_1=c_3=2$ Es decir tienen el mismo valor, 2, pero la posición que ocupa el número 2 en cada una de las sucesiones es diferente. En el caso de $\{a_n\}$ es el segundo elemento, en el caso de $\{b_n\}$ es el primer elemento y en el caso de $\{c_n\}$ es el tercer elemento.

De la misma manera, $a_6=c_2=6$, y aunque el valor es el mismo, 6, en el caso de $\{a_n\}$ se sitúa en el sexto lugar, para el caso de $\c_n\}$ se trata del segundo elemento y para $\{b_n\}$ el valor 6 ni siquiera pertenece a la sucesión.

En el siguiente apartado te cuento a qué se denomina diferencia de una progresión aritmética, pero para enterarte tendrás que seguir leyendo

Fórmulas de una progresión aritmética

Una progresión aritmética se puede definir de tres maneras diferentes (pero verás que al final se trata de lo mismo).

Por extensión

La forma de definir una progresión aritmética mediante extensión se basa en exponer los primeros elementos (los que sean necesarios) para que quede claro cómo se forma. La manera en que he abierto esta entrada con

$$1,2,3,4,\ldots$$

$$2,5,8,11,\ldots$$

$$10,6,2,-2,\ldots$$

Y luego te he animado a que siguieras se trataría de una forma por extensión.

Técnicamente, cuando en matemáticas se habla de definir un conjunto por extensión se está sugiriendo nombrar todos y cada uno de sus elementos. Pero debes tener en cuenta que en una progresión aritmética hay infinitos elementos y por tanto no podríamos nombrarlos a todos así que decimos los suficientes para que se pueda continuar la serie.

Forma recursiva

Esta forma es un poco más interesante. Se trata de definir el elemento que está en el lugar $n$ a partir del que está en la posición anterior $n-1$.

¿Te acuerdas que te he dicho que siempre se suma la misma cantidad entre dos términos consecutivos? Pues es a eso a lo que llamamos diferencia y lo denotamos con la letra $d$.

¿Qué significa?

• El elemento que está en el lugar $n$, es decir $a_n$
• Es igual al elemento que está en el lugar anterior, $n-1$, es decir $a_{n-1}$
• al que se le suma la diferencia $d$

Así las progresiones con las que te estoy ilustrando esta entrada, de forma recurrente son:

$$\begin{aligned}
a_n&=a_{n-1}+1\\
b_n&=b_{n-1}+3\\
c_n&=c_{n-1}-4
\end{aligned}$$

Forma explícita

El problema que hay cuando defines una progresión aritmética de manera recursiva es que necesitas ir calculando todos y cada uno de los elementos hasta llegar al que deseas. Por ejemplo, puedes calcular en un tiempo razonable cuanto valen $a_{10}, b_{100} o c_{1000}$ El primero es sencillo $a_{10}=10$ pero los otros… son algo más complicados: $b_{100}=299$ y $c_{1000}=-3986$ Te van a llevar un buen rato.

¿Hay alguna manera de no tener que calcular los 999 términos anteriores a $c_{1000}$ para saber cuánto es su valor? Sí. Se trata de la forma explícita de dar una progresión aritmética.

O dicho de otra manera, tan sólo necesitas conocer el valor del primer elemento de la progresión y su diferencia. Hazme caso si te digo que esta manera de calcular los términos de una progresión aritmética es muchíííííííííííííííííííísimo más sencilla.

¿De dónde sale esta fórmula?

Esta fórmula es consecuencia de ir sustituyendo términos anteriores en la fórumula recurrente. Observa:

$$\begin{aligned}
a_n=&a_{n-1}+d\\
a_{n-1}=&a_{n-2}+d\\
a_{n-2}=&a_{n-3}+d\\
a_{n-3}=&a_{n-4}+d\\
\vdots=&\phantom{a_{n-4}}\vdots\\
a_{3}=&a_{2}+d\\
a_2=&a_1+d
$$

Y si ahora vas sustituyendo cada $a_i$ por su valor recurrente tienes:

$$a_n={\color{red}a_{n-1}}+d={\color{red}{\color{blue}a_{n-2}}+d}+d={\color{blue}a_{n-3}+d}+{\color{red}d}+d=\cdots= a_1+d+d+\cdots+d$$

¿Cuántas veces sumas la diferencia, $d$? Si piensas un poco, ves que la $d$ la has sumado $n-1$ veces, así que al final escribes:

$$\fbox{$\displaystyle a_n=a_1+(n-1)\cdot d$}$$

Así, con esta nueva fórmula, es muy fácil calcular los valores de cualquier progresión aritmética. Observa:

• $\{a_n\}$: En este caso $a_1=\color{blue}1$, y $d=\color{red}1$ por lo que $a_{\color{orange}10}={\color{blue}1}+({\color{orange}10}-1)\cdot \color{red}1\color{black}=10$ Vale, este era muy sencillo. Vamos con el resto
• $\{b_n\}$: En este caso $b_1=\color{blue}2$, y $d=\color{red}3$ por lo que $b_{\color{orange}100}={\color{blue}2}+({\color{orange}100}-1)\cdot \color{red}3\color{black}=299$
• $\{c_n\}$: En este caso $c_1=\color{blue}10$, y $d=\color{red}-4$ por lo que $a_{\color{orange} 1000}={\color{blue}10}+({\color{orange} 1000}-1)\cdot \color{red}(-4)\color{black}=-3986$

Es decir que las progresiones aritméticas con las que estamos trabajando son:

$$
\begin{aligned}
\{a_n\}=&1+(n-1)\cdot 1= n\\
\{b_n\}=&2+(n-1)\cdot 3\\
\{c_n\}=&10-(n-1)\cdot 4\\
\end{aligned}
$$

Y ahora la pregunta que te tienes que hacer es ¿Como averiguo los elementos que necesito en una progresión aritmética? De esto es lo que va el siguiente apartado

Cálculo de los elementos de una progresión aritmética

En este apartado te contaré lo que debes saber y hacer para poder llegar a la fórmula explícita de una progresión aritmética.

Primero te lo contaré de forma matemática y posteriormente te haré un ejemplo:

Conociendo dos términos cualesquiera

Imagínate que tienes una progresión aritmética de la que sabes el valor de $a_\alpha$ y $a_\beta$. Supongamos además qeu $\alpha<\beta$. Vamos a escribir qué ocurre con sus fórmulas explícitas:

$$\begin{aligned}
a_\alpha=&{\color{red}a_1}+(\alpha-1)\cdot {\color{red}d}\\
a_\beta=&{\color{red}a_1}+(\beta-1)\cdot {\color{red}d}
\end{aligned}$$

Lo que ocurre aquí es que tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($a_1$ y $d$), y vamos a resolverlo por reducción. Si restamos ambas ecuaciones obtenemos:

$$a_\alpha-a_\beta=(\alpha-\beta)\cdot d\quad \Longrightarrow\quad \fbox{$\displaystyle \color{blue}d=\frac{a_\alpha-a_\beta}{\alpha-\beta}$}$$

Y aquí tienes dos opciones:

• Razonas el proceso y dejas boquiabierto a tu profe, que no te tiene manía, cuando se lo pongas en un examen.
• Te aprendes la fórmula recuadrada de memoria, que será lo que te hayan dicho en clases particulares y el día del examen se te olvida, te bloqueas y no resuelves el ejercicio.

¡¡¡Tú mismo!!!

Ejemplo

Un ejercicio típico de examen podría ser el siguiente:

Calcula cuanto vale $a_{151}$ sabiendo que $\displaystyle a_{25}=\frac{61}{4}$ y $\displaystyle a_{34}=\frac{85}{4}$

Vamos a empezar a calcular cosas. En primer lugar escribo la fórmula general de una progresión aritmética para ambos:

$$\begin{aligned}
a_{25}=&\frac{61}{4}={\color{red}a_1}+(25-1)\cdot {\color{red}d}\\
a_{34}=&\frac{85}{4}={\color{red}a_1}+(34-1)\cdot {\color{red}d}
\end{aligned}$$

Si ahora resto ambas ecuaciones obtengo lo siguiente:

$$\frac{61}{4}-\frac{85}{4}=-6=-9d$$

Y resolver esto es muy sencillo

$$\fbox{$\displaystyle d=\frac{-6}{-9}=\frac{2}{3}$}$$

Ahora calculo $a_1$, por ejemplo, a partir de $a_{25}$:

$$a_{25}=\frac{61}{4}={\color{red}a_1}+(25-1)\cdot \frac{2}{3}\Longrightarrow a_1=-\frac{3}{4}$$

Con lo que resolver la pregunta es muy fácil:

$$a_{150}=-\frac{3}{4}+\left(151-1\right)\cdot\frac{2}{3}=\frac{397}{4}$$

Conociendo un término y la diferencia

En este caso imagínate que conocemos $a_\alpha$ y conocemos $d$. La resolución de este problema es aún más fácil, pues sólo debemos calcular $a_1$:

$$a_\alpha={\color{red}a_1}+(\alpha-1)\cdot d\Longrightarrow \fbox{$\color{blue}\displaystyle a_1=a_\alpha-(\alpha-1)\cdot d$}$$

Y al igual que antes tienes dos opciones (las mismas):

• Razonas el proceso y dejas boquiabierto a tu profe, que no te tiene manía, cuando se lo pongas en un examen.
• Te aprendes la fórmula recuadrada de memoria, que será lo que te hayan dicho en clases particulares y el día del examen se te olvida, te bloqueas y no resuelves el ejercicio.

¡¡¡Tú mismo!!!

Ejemplo

Otra pregunta típica de examen puede ser la siguiente:

Calcula el valor de $a_{200}$ de una progresión aritmética, sabiendo que $a_{15}=-39$ y $d=-\frac{5}{2}$

Para calcular $a_1$ hacemos exacatamente lo mismo que antes:

$$a_{15}=-39={\color{red}a_1}+\left(15-1\right)\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$$

Y despejando $a_1$ tenemos:

$$a_1=-39+14\cdot \frac{5}{2}=-4$$

Con esto calcular lo que nos piden es poco menos que trivial:

$$a_{200}=-4+\left(200-1\right)\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{1003}{2}$$

Otras propiedades de una progresión aritmética

La suma de términos es constante

Espera esto así es falso y si lo pones así en un examen, tu profe, que no te tiene manía te lo va a dar por mal. Muy mal. Entonces… ¿Qué quiere decir realmente?

Sí. Tienes razón este afirmación en seco es falsa lo que te quiero decir es que:

$$\text{Si } \ p+q=r+s\Longrightarrow a_p+a_q=a_r+a_s$$

Por ejemplo, para nuestras progresiones aritméticas tenemos:

Sean $p=5, \ q=10$ y $r= 2, \ s=13$, tenemos entonces que:

$$5+10=2+13$$

Por lo que:

$$a_5+a_{10}=a_{2}+a_{13}$$

En efecto: $5+10=2+13=15$

Pero esto mismo pasa con las sucesiones $\{b_n\}$ y $\{c_n\}$:

$$
\begin{aligned}
b_{5}+b_{10}=&b_2+b_{13}\\
14+29=&5+38\\
43=&43
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
c_5+c_{10}=&c_2+c{13}\\
-14+(-34)=&-2+(-46)\\
-48=&-48
\end{aligned}
$$

¿De dónde sale esta afirmación?

Vamos a deducir que $\text{si }\+q=r+s\Longrightarrow a_p+a_q=a_r+a_s$

Si «sustituímos» en la fórmula explícita tenemos:

$$
\begin{aligned}
a_p=&a_1+(p-1)\cdot d\\
a_q=&a_1+(q-1)\cdot d\\
a_r=&a_1+(r-1)\cdot d\\
a_s=&a_1+(s-1)\cdot d\\
\end{aligned}
$$

Vamos a sumarlas de dos en dos: (te lo codifico con colores también)

$$a_p+{\color{blue}a_q}=a_1+(p-1)\cdot d +{\color{blue} a_1+(q-1)\cdot d}= 2a_1+(p+q-2)\cdot d$$

$$a_r+{\color{blue}a_s}=a_1+(r-1)\cdot d +{\color{blue} a_1+(s-1)\cdot d}= 2a_1+(r+s-2)\cdot d$$

Y ahora nos fijamos en los últimos iguales. En ambos casos aparece $2a_1$, así que ahí no tenemos ningún problema. ¿Dónde está el problema? pues en que ambas cosas son iguales si y sólo si $p+q-2=r+s-2$ y esto sólo es cierto si $p+q=r+s$.

Bingo Esta es justo la hipótesis que estábamos suponiendo, así que sí, hemos demostrado que:

$$\fbox{$p+q=r+s\Longrightarrow a_p+a_q=a_r+a_s$}$$

Una anécdota

Aunque esto lo usaremos más en la entrada sobre la suma de progresiones aritméticas te voy a contar una anécdota que le ocurrió a C. F. Gauss con 10 años.

Resulta que la clase estaba un poco revoltosa (no sé si te suena de algo ) así que el maestro les pidió a los alumnos que sumaran los 100 primeros números naturales, es decir $1+2+3+\cdots+99+100$. Gauss a los 5 minutos dio la respuesta correcta. ¿Por cierto, te atreves a dejar la respuesta en comentarios?

¿Cómo lo hizo?

Pues se basó en la propiedad anterior, y dedujo que si en una progresión aritmética tomamos un número finito de términos, la suma de los equidistantes a los extremos es constante.

Pero todo esto, como ya te he dicho, te lo explicoteo mejor en la entrada sobre la suma de los $n$ términos de una progresión aritmética de los términos de una progresión aritmética.

Y hasta aquí la entrada de hoy.

¿Te has peleado alguna vez con las progresiones aritméticas? ¿Te resultaron difíciles? Nos ha quedado ver la suma de las progresiones aritméticas, pero eso lo dejamos para otra entrada.

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