▶ 🎁 Criterios de divisibilidad 🥇

Todos los años recuerdo en clase los criterios de divisibilidad, que es lo que voy a tratar de contarte aquí. Si lo que necesitas, o quieres, es ver una demostración de por qué cada número tiene su criterio de divisibilidad, deberías echar un vistazo a esa entrada .

Por supuesto, en esta entrada voy a tratar sólo con números enteros y de éstos, simplemente mencionaré a los positivos (es decir a los naturales). Al fin y al cabo, el incluir a los números negativos ($\mathbb{Z}^-$) no es más que añadir un factor de $-1$ que multiplica al número en cuestión

La entrada es más bien un compendio de recetas que funcionan. Siempre que llego a esta parte del curso, digo a mis alumnos que las matemáticas no son recetas que se aplican porque funcionan, sino que se llega a esas recetas porque se han hecho matemáticas y ha habido quien le ha estado dando al coco hasta que ha descubierto el porqué . Sin embargo, explicar ¿por qué son así los criterios de divisibilidad?, sería tremendamente complicado a unos alumnos cuyos objetivos son aprender a dominar la aritmética. Así que si te interesa lo que hay entre bambalinas, échale un ojo a mi entrada sobre ello. [latexpage]

Criterios de divisibilidad

Los criterios los puedes simplificar en la siguiente tabla:

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Explicación individualizada de cada criterio

Criterio del 2

✅ Este criterio es el más fácil de todos. Si el número acaba en $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 0$ es divisible por $2$, y si no es así, no será divisible por $2$.

De esta manera $1578$ es múltiplo (y por tanto divisible) por $2$, pero $1587$ no es divisible por $2$.

Criterio del 3

✅ Si queremos saber si $4356$ es múltiplo de $3$, lo que hay que hacer es sumar los dígitos $$4+3+5+6=18$$ Y puesto que $18$ es múltiplo de $3$ se concluye que el número $4356$ ES múltiplo de $3$ (se representa así: $18=\dot{3}$, con un puntito encima del $3$; o bien $18|3$). De hecho:

$$4356=1452\cdot 3$$

Si ahora queremos saber si $11224$ es múltiplo de $3$, hacemos lo mismo $$1+1+2+2+4=10$$ Y puesto que $10$ no es múltiplo de $3$ deducimos que el número $11224$ NO es múltiplo de $3$ (se representa así $10\neq \dot{3}$; o bien $10\nmind 3$). De hecho:

$$11224=3741\cdot 3+1$$

Y aquí te lanzo una pregunta: ¿Qué resto te dan al dividir por $3$ tanto $11224$ como $10$?

Criterio del 4

▶ Este es otro criterio fácil de entender. ¿Es $12416$ múltiplo de $4$? Sólo te tienes que fijar en los últimos dos dígitos $16$, y puesto que $16$ SÍ es múltiplo de $4$, entonces podemos decir que $12416=\dot{4}$.

Por otro lado, ¿es $12461$ múltiplo de $4$? Puesto que $61$ no es múltiplo de $4$, puedes concluir que $12461\neq \dot{4}$

Criterio del 5

✅ Este es otro de los criterios fáciles. Hay que mirar el último dígito y ver si es $0$ o $5$. Así $1245$ es múltiplo de $5$, pero $9684$ no lo es.

Criterio del 6

▶ Ahora se exige que el número sea múltiplo de $2$ y de $3$. Para que sea múltiplo de $2$ tiene que ser un número par; pero para que sea múltiplo de $3$ la suma de sus dígitos debe ser múltiplo de $3$ también. Luego:

$2547$ no va a ser múltiplo de $6$ porque no es par, a pesar de que sus dígitos suman $2+5+4+7=18=\dot{3}$. Esto significa que $2547$ es múltiplo de $3$ pero no de $2$.
$7978$ tampoco es múltiplo de $6$ ya que, a pesar de ser un número par, sus dígitos suman $7+9+7+8=31\neq \dot{3}$. Esto significa que el $7978$ es múltiplo de $2$ pero no lo es de $3.$
$467892$ SÍ es múltiplo de $6$ porque es un número par y sus dígitos suman $4+6+7+8+9+2=36=\dot{3}$

Criterio del 7

El criterio del $7$ yo nunca lo enseñaba porque es muy complicado; es tan complicado que es más útil hacer la división por $7$ y ver qué resto obtienes que aplicar el criterio de divisibilidad.

Pero resulta que este verano se ha publicado una noticia, donde un chico de 12 años ha demostrado un nuevo criterio de divisibilidad por $7$ que es el que paso a explicarte🎉. Hay que separar la última cifra, multiplicarla por $5$ y sumársela a lo que te quedaba del número. Veámoslo con unos ejemplos:

¿Es $217$ múltiplo de $7$?. Hago la siguiente cuenta $7\cdot 5+21=56= \dot 7$ Por lo que sí es múltiplo de $7$. De hecho: $217=31\cdot 7$. Observa que he tomado el último número $7$, lo he multiplicado por $5$ y se lo he sumado a lo que quedaba del número original.

¿Es $ 324$ múltiplo de $7$? Hago la siguiente cuenta $4\cdot 5+32=52\neq \dot{7}$. Por lo que el número $324$ NO es múltiplo de $7$. De hecho: $324=46\cdot 7 +2$

Creo que ya estás pillando lo que hay que hacer. Vamos con un último ejemplo, un poco más complicadete: ¿es $45786$ múltiplo de $7$. Hago la siguiente cuenta: $6\cdot 5+4578=4608$. ¿Y es $4608$ múltiplo de $7$? vamos a verlo… $8\cdot 5+460=500$ y la pregunta es la misma ¿es $500$ múltiplo de $7$? Claramente no, por lo que $45786\neq \dot{7}$. Concretamente $45786=6540\cdot 7+6$.

Criterio del 8

▶ Después de la locura del criterio del $7$ éste criterio es más fácil. Te debes fijar en las tres últimas cifras: si son múltiplos de $8$ entonces el número lo es, y si no… pues no.

¿Es $1024$ múltiplo de $8$?. Como $024=\dot{8}$ eso significa que $1024$ es múltiplo de $8$.

¿ES $9442$ múltiplo de $8$? Si te fijas en las últimas tres cifras, tienes que $442\neq\dot{8}$, por lo que $9442$ NO es múltiplo de $8$.

Criterio del 9

▶ Este es otro de los criterios sencillos. Basta con sumar los dígitos:

¿Es $5481$ múltiplo de $9$? Si sumas los dígitos obtienes $5+4+8+1=18=\dot{9}$ Luego SI es múltiplo de $9$ el número $5481$. Si calculas, obtienes $5481=609\cdot 9$.

¿Es $5743$ múltiplo de $9$? Si sumas los dígitos obtienes $5+7+4+3=19$. Como $19$ no es múltiplo de $9$, entonces $5743$ tampoco lo es. Si calculas: $5743=638\cdot 9+1$

Criterio del 10

✅ En mi opinión, éste criterio, junto con el del $2$ son los más fáciles. Un número es múltiplo de $10$ cuando acaba en $0$.

$12410$ es múltiplo de $10$ porque acaba en $0$.

$10241$ no es múltiplo de $10$ porque no acaba en $0$.

Criterio del 11

✅ En este criterio hay que ir selecionando los dígitos que están en lugar par y los que están en lugar impar. OJO No hay que seleccionar los pares y los impares. No. Los que ESTÁN en lugar par y los que ESTÁN en lugar impar.

Mejor con un ejemplo: ¿Es $37624590$ múltiplo de $11$? Es un número que tiene 8 dígitos, así que lo que hacemos es lo siguiente:

empezamos a numerar los dígitos por orden. Así:
- Lugar 1: es el número $ 0$
- Lugar 2: es el número $ 9$
- Lugar 3: es el número $ 5$
- Lugar 4: es el número $4 $
- Lugar 5: es el número $ 2$
- Lugar 6: es el número $6 $
- Lugar 7: es el número $ 7$
- Lugar 8: es el número $ 3$
Ahora hay que sumar los que están en lugar par por un lado ($9,\ 4,\ 6,\ 3$); y los que están en lugar impar por otro ($0,\ 5,\ 2,\ 7$). Date cuenta que me fijo en el lugar par o impar, no en si el dígito en cuestión es par o impar.
- SUMA DE LOS DE LUGAR PAR: $9+4+6+3=22$
- SUMA DE LOS DE LUGAR IMPAR: $0+5+2+7=14$
El siguiente paso es fácil. Hay que restar al número mayor, el número menor: $$22-14=8$$
Como resulta que $8\neq \dot{11}$, esto implica que el número de partida, $37624590$, no es múltiplo de $11$

Una pregunta típica que yo suelo hacer en los exámenes es la siguiente Completa con el dígito que falta (marcado con «?») para que el siguiente número sea múltiplo de 11: $456?12$ Y espero que ahora no tengas problemas para saber que la respuesta es $4$

¿Pero si ya tengo calculadora?

Esta pregunta me la hacen mucho mis alumnos. ¿Para qué voy a necesitar saber los criterios de divisibilidad? si tengo calculadora y tardo muy poco en comprobar si un número divide a otro o no Pues es verdad, pero ¿para qué vas a cenar si te vas a levantar en ayunas? o ¿para qué bebes agua si vas a volver a tener sed?

La función principal por la que debes conocer los criterios de divisibilidad no es porque tu profe te tenga manía , ni tampoco es dividir números como un loco , ni pasar una tarde averiguando si un número es divisible por otro o no . Para eso efectivamente están las calculadoras. Su utilidad es mucho más sutil:

1️⃣ Por ejemplo, si necesitas simplificar una fracción, puedes usar los criterios de divisibilidad para saber si es o no es irreducible. En esta entrada puedes ver un par ejemplos sobre ello. Pero si no quieres ver la entrada, aquí tienes un ejemplo muy sencillo ¿es irreducible la fracción $\displaystyle \frac{462}{99}$? ¿y $\displaystyle \frac{252}{165}$?. Te diré que la primera fracción NO es irreducible, y la segunda fracción SI es irreducible. ¿Cómo lo sé? Muy fácil:
- $\displaystyle \frac{462}{99}$ ¿Cuál es más fácil de factorizar, numerador o denominador? El número más fácil de factorizar es el $99=3^2\cdot 11$. Si el numerador no es múltiplo ni de $3$ ni de $11$, la fracción es irreducible. Y lo mejor de todo es que no tengo que dividir (convéncete de que dividir es un proceso largo, laborioso, difícil y en el que es muy sencillo equivocarse):
  1. Como $4+6+2=12$ voy a poder dividir la fracción por $3$.
  2. Como $6-(4+2)=0$ y $0$ es múltiplo de 11, puedo dividir la fracción por $11$.
  3. Resulta que $3$ y $11$ son primos entre sí, y eso significa que puedo dividir el numerador por $33$ y así obtengo la fracción irreducible (y cuando lo divida, sé que el resto me debe salir $0$):
    
    $$\displaystyle \frac{462}{99}=\frac{14}{3}$$
- $\displaystyle \frac{252}{165}$ ¿Cuál es más fácil de factorizar, numerador o denominador? En este caso, se ve (con un poco de práctica, eso sí) que
  
  $$165=11\cdot 15=11\cdot 5\cdot 3$$
  Pero resulta que el numerador no es divisible ni por $3$ ni por $5$ ni por $11$, y esto lo sé de un solo vistazo, sin necesidad de dividir tres veces. Eso significa que la fracción es irreducible.
2️⃣ ¿Dependes tanto de la tecnología que no eres capaz de vivir sin ella? quiero decir que tu agilidad mental no te la va dar una calculadora (que también hay su versión para móvil). Existen problemas que al resolverlos puedes haber cometido un error y si sabes que el resultado debe ser, por ejemplo, múltiplo de 8, te puede dar una pista para saber si lo han hecho bien o mal y, en su caso, buscar el error. A mí, personalmente, no me gusta poner los mismos ejercicios que en el libro pero con los números cambiados; me interesan muy mucho aquellos ejercicios donde los resultados se deban interpretar. Llegar a la conclusión de que la solución es $3,57$ es muy sencillo, lo importante es saber qué significa: ¿son minutos? ¿millones de euros? ¿personas en una habitación? $3,57$ personas
3️⃣ Las divisiones de números enteros, y en especial, los restos de esas divisiones los estamos usando todos los días, aunque no nos demos cuenta:
- Por ejemplo yo estoy escribiendo ahora esta entrada y algo le tiene que decir a mi ordenador (realmente la dirección IP, DNS, hosting, dominio…) que tiene que aparecer escrito en miprofementienemania.com y no en otra página web. La codificicación de la información depende de muchas cosas, pero entre otras, de operaciones aritméticas muy básicas.
- Certificados digitales, claves de cuentas bancarias, posibilidad de teletrabajar o bien, por ejemplo, de que haya equipos en Madrid, Valladolid, Ankara, Singapur y San Diego que conecten a la vez en un mismo proyecto. Todo este tráfico de información, depende al final de aritmética básica, de la divisibilidad y de números primos.
- Secreto de tres, secreto no es cuida bien de tus contraseñas en Internet. Detrás de esa seguridad, al final, está el hecho de que un número se pueda dividir por otro o no.
4️⃣ Desde un punto de vista histórico, las cuestiones de Teoría de Números y Aritmética han estado siempre en el centro de la enseñanza e investigación en matemáticas. Grandes matemáticos como Euclides, Pitágoras, Gauss, Euler… han trabajado sobre estos temas.
5️⃣ Y porque es fascinante. Los criterios de divisibilidad te permiten saber de un vistazo si un número es divisible por otro o no. Por ejemplo: Un abuelo tiene 9 nietos y desea repartir $9354\ €$ entre ellos ¿Podrá repartirlos sin que sobre dinero? Aquí no te piden que digas cuánto le toca a cada nieto, si no que digas si podrá repartirlos enteramente.

Como ves los criterios de divisibilidad no son ni muy difíciles de memorizar, ni son una cuestión teórica sin repercusión práctica.
Y tú ¿a tí también te enseñaron los criterios de divisibilidad como aparecen aquí? ¿conoces algún otro criterio de divisibilidad que te gustaría contarnos? Cualquier duda, comentario, aclaración… por favor déjalo en comentarios

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