Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad te permiten saber de un vistazo si un número es múltiplo de otro o no. Todo el mundo sabe que un número es divisible por 2 si es par, o que es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5; pero menos gente sabe que un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras lo es; por supuesto menos gente aún sabe si un número es divisible por 4, 6, 8, 9, 11… de un vistazo.

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En esta entrada te voy a demostrar cómo saber si un número es divisible por otro independientemente de la base de numeración en la que estés trabajando.

• La primera parte va a ser mostrarte el método mediante un ejemplo: te mostraré los requisitos que debe cumplir un número escrito en base 10 para ser divisible por 3.
• La segunda parte de la entrada va a estar dedicada a implementar un algoritmo que nos permita saber cuándo un número (independientemente de la base en la que está escrito) es divisible por otro dado (escrito en la misma base).

Todo lo que te voy a contar se basa en la aritmética modular, por lo que debes dominar correctamente el operador $mod$. Brevemente te diré que cuando escribibos $a(mod\ b)$ obtenemos el resto de la división de $a$ por $b$. Así:

• $7(mod\ 5)=2\equiv -3$ (piensa por qué son equivalentes en este caso $2$ y $-3$).
• $19(mod\ 2)= 1\equiv -1$ (piensa por qué son equivalentes en este caso $1$ y $-1$).
• $35 (mod\ 7) = 0$.

Criterio de divisibilidad por 3 de un número escrito en base 10

Cuando un número $n$ lo tenemos escrito en base $10$, podemos descomponerlo de forma polinómica de la siguiente manera:

$$n = a_0 + a_1 \cdot 10+a_2 \cdot 10^2+\cdots+ a_k \cdot 10^k\qquad \text{ para algún } 0\leq k \text{ con } 0\leq a_i<10 $$

Pues bien, lo que vamos a hacer es ir hallando los restos, al dividir por 3, de las sucesivas potencias de 10, que es lo que podemos ver en la siguiente tabla:

[table id=9 /]

Es muy sencillo comprobar, mediante las propiedades del operador $mod$, que todas las potencias de $10$ dejan por resto $1$ cuando las dividimos por $3$.

Siguiendo con las propiedades del operador $mod$ tenemos que para cualquier número $n$:

$$n=\sum_{i=0}^t a_i 10^i\equiv \sum_{i=0}^t a_i (mod\ 3)$$

Y esto nos está diciendo que el resto de dividir un número por $3$ es la suma de sus cifras.

Y ¿cuándo un número es múltiplo de $3$? cuando el resto de la división es 0. Por tanto, cuando la suma de los dígitos de un número sea un múltiplo de $3$, entonces el número es múltiplo de $3$.

Deducción de los criterios de divisibilidad

En esta parte de la entrada voy a enseñarte cómo deducir cualquier criterio de divisibilidad de cualquier número natural, $n$, independientemente de la base $b$ en la que esté escrito.

Existe un teorema que nos dice lo siguiente:

Sea $2\leq b\in \mathbb{N}$ la base de cierto sistema de numeración. Todo número natural $n\in \mathbb{N}$ puede escribirse de manera única en la base $b$ como:

$$n=a_0+a_1\cdot b+a_2\cdot b^2+\cdots+ a_k \cdot b^k\qquad \text{para algún} 0\leq k \text{ con } 0\leq a_i<b$$

Pues bien, si tenemos un determinado número $t$ y queremos hallar su criterio de divisibilidad para la base $b$, debemos tener presente dos cosas.

La primera es hallar los siguientes restos de la división por $t$:

• $b^0(mod\ t)\equiv r_0$
• $b^1(mod\ t)\equiv r_1$
• $b^2(mod\ t)\equiv r_2$
• …
• $b^k(mod\ t)\equiv r_k$

Por otro lado, una de las propiedades del operador $mod$ nos dice que:

$$(\alpha\cdot \beta)(mod\ t)\equiv \alpha (mod\ t) \cdot \beta(mod\ t)$$

Así, juntando ambas cuestiones, obtenemos que:

$$n=a_0+a_1\cdot b+a_2\cdot b^2+\cdots+ a_k \cdot b^k=\sum_{i=0}^t a_i b^i\equiv \sum_{i=0}^t a_i\cdot r_i (mod\ t)$$

Y ya estamos llegando casi al final. Resulta que lo que hemos calculado en la última expresión anterior $\displaystyle \sum_{i=0}^t a_i\cdot r_i (mod\ t)$ es el resto de dividir el número $n$ entre $t$. Por tanto, si ese resto es $t$ o un múltiplo suyo, $n$ será múltiplo de $t$.

Y con esto, hemos deducido una forma de averiguar cualquier criterio de divisibilidad que nos permita saber si un número $n$ es divisible por $t$ en una determinada base $b$. De hecho, lo que hemos hallado es la forma de conseguir el resto de la división $n:t$.

Cálculo de todos los divisores de un número

Hasta el momento hemos sido capaces de saber si un número es divisible por otro o no, porque ya somos capaces de calcular todos los criterios de divisibilidad, pero hay una pregunta muy parecida, pero completamente distinta: ¿Cómo calculo yo todos los divisores de un número?

Hay algunos que son fáciles y se pueden ver a ojo como son por ejemplo los divisores de los números menores de 100; es verdad que de algunos cuesta un poco más, pero se pueden calcular sin problema. Ahora bien, ¿cuáles y cuántos son los divisores de 360? ¿1024? ¿1002001? La cosa cambia, y bastante.

¿Cuántos divisores tiene?

Este es lo primero que hay que responder. Y puede que no sea sencillo. Por ejemplo 11 tiene sólo dos divisores, mientras que 12 tiene 5 divisores (estoy tomando sólo los positivos) y 13 vuelve a tener sólo dos divisores. Así que ni los criterios de divisibilidad ni el lugar que ocupa un unúmero en la serie numérica ayudan mucho.

Lo primero que debes hacer es factorizar el número. Voy a trabajar primero con $12$ pues es un número muy manejable $$12=2^2\cdot 3$$ Esto significa que en los divisores de 12 sólo intervienen el 2 y el 3, y además, en la factorización de estos divisores sólo podrá aparecer como mucho un 3 y como mucho dos doses. Es decir:

• Habrá divisores en cuya descomposición factorial aparezcan 0, 1, 2 doses: $2^0, \ 2^1\ 2^2$
• Habrá divisores en cuya descomposición factorial aparezcan 0 o 1 tres: $3^0, \ 3^1$

Pues ahora vamos a contar:

1. En la descomposición factorial de los divisores, el lugar del 2 puede estar ocupado por ninguno, uno o dos doses. Es decir, hay tres posibilidades.
2. En la descomposición factorial de los divisores, el lugar del 3 puede estar ocupado por ninguno o un tres. Es decir hay dos posibilidades.

Fíjate ahora en los exponentes de $12=2^2\cdot 3$ ¿Te das cuenta que las posibilidades para cada factor son su exponente más uno?

Pues ahora, esto no son más que variaciones, donde el primer espacio puede estar ocupado por tres elementos distintos que son $2^0=1$, $2^1=2$ y $2^2=4$, y el segundo espacio puede estar ocupado por dos elementos distintos que son $3^0=1$ y $3^1=3$.

Es decir que 12 tiene $3\cdot 2=6$ divisores distintos (positivos, claro. Los negativos son otros tantos).

Así tenemos que el número de divisiores de un número $n=p_1^{\alpha}\cdot p_2^{\beta}\cdots p_n^{\delta} $ es: $$D(n)=(\alpha+1)\cdot (\beta+1)\cdots (\delta+1)$$

Si ahora elegimos otros números, podemos incluso hacer una tabla:

Y una vez que sabemos cuántos divisores tiene un número, vamos a calcularlos, pero antes déjame plantearte una pregunta para que la contestes en comentarios ¿Cuál es el menor número que tiene 50 divisores? (te diré que tiene 16 dígitos)

Cálculo de todos los divisores de un número

Una vez que tenemos la factorización de un número, para lo que necesitamos los criterios de divisibilidad, vamos a ver unmétodo para calcular todos y cada uno de los divisores de un número sin que se nos escape ninguno. Vamos a hacer dos ejemplos:

Ejemplo 1

Calculamos todos los divosres de $360= 2^3\cdot 3^2\cdot 5$

Viendo la descomposición factorial se puede calcular cuántos divisores tendrá 360:

$$\#(360)=(3+1)\cdot (2+1)\cdot (1+1)=24$$

Yo te recomiendo hacer la siguiente tabla. A mi me la enseñó mi padre cuando andaba por 4º-5º EGB así que no es nada difícil seguir lo que yo te voy a contar a continuación:

Te voy a explicar cómo he elaborado la tabla anterior:

• En la primera fila he colocado las potencias de $2$ que posee el número 360.
• La segunda fila no es más que su equivalente numérico. De esta manera estos son los divisores de 360 en cuya descomposición factorial sólo intervienen potencias de 2. Nada más.
• En la tercera fila empiezo poniendo la primera potencia de 3 en la parte gris. Y la fila en blanco voy rellenándola con todos los productos posibles con la segunda fila $3\cdot 1$; $3\cdot 2$; $3\cdot 4$ y $3\cdot 8$ Consigo así todos los divisores de 360 donde intervienen todas las potencias de 2 y el 3.
• En la cuarta fila empiezo localizando la segunda potencia de 3 que posee el número 360. Y la multiplico por todas las potencias de 2 anteriores. Esta fila son todos los divisores de 360 que poseen en su descomposición factorial $3^2$ y las potencias de 2.
  Es importante que no multipliques esta fila por la anterior del 3, puesto que entonces estarías introduciendo el número $3^3=27$ que no es divisor de 360.
• Una vez que hemos acabado con el 3, vamos a empezar con el 5. Coloco la única potencia de 5 que aparece en la descomposición factorial de 360 y lo multiplico por todos y cada uno de los divisores que ya he calculado. Así obtengo las tres filas siguientes.
• De esta manera puedes calcular todos los divisores de 360 sin que se te escape ninguno.

Ejemplo 2

Vamos a calcular todos los divisores de $12600= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$

Simplemente viendo la descomposición factorial del número (para lo cual, supongo que habrás utilizado alguno de los criterios de divisibilidad), podemos calcular cuántos divisores vamos a encontar:

$$\#(12600)=(3+1)\cdot (2+1)\cdot (2+1)\cdot (1+1)=72$$

Y vamos a elaborar la misma tabla que en el caso anterior.

Procedemos de la misma forma que antes:

• Fila 1ª: En gris, coloco todas las potencias de 2 que forman parte de la descomposicón de 12600
• Fila 2ª: En blacno, traduzco esas potencias de dos: 1, 2, 4, 8.
• Fila 3ª: Primera potencia de 3 que coloco en la zona gris. Lo multiplico por todas las potencias de 2 anteriores: 3, 6, 12, 24.
• Fila 4ª: Segunda potencia de 3 que coloco en la zona gris. Lo multiplico SÓLO por las potencias de 2 anteriores: 9, 18, 36, 72.
• Fila 5ª, 6ª y 7ª: En estas filas aparece la primera potencia de 5, que está colocada en la zona gris. Multiplico el 5 por todos y cada uno de los números que ya llevo calculados: 5, 10, … ,180, 360.
• Fila 8ª, 9ª y 10ª: Segunda potencia de 5, colocada en la zona gris. Multiplico $5^2=25$ por todos los números calculados anteriormente, excepto los que acabo de calcular con el 5: 25, … ,1800.
• Fila 11ª: a continuación empiezo con la potencia de 7, que coloco en la zona gris. En esta fila multiplico el 7 por las potencias de 2: 7, 14, 28, 56.
• Fila 12ª y 13ª: En estas dos filas multiplico el 7 por las filas correspondientes a las potencias de 3, y así obtengo los divisores de 12600 donde intervienen potencias de 2, potencias de 3 y el 7.
• Fila 14ª, 15ª y 16ª: Estas tres filas son el producto de 7 por las filas correspondientes a 5. Obtengo así todos los divisores de 12600 donde intervienen potencias de 2, potencias de 3, el 5 y el 7
• Fila 17ª, 18ª y 19ª: En estas tres filas lo que he hecho es multiplicar el 7 por las correspondientes a $5^2=25$, y así obtengo todos los divisores de 12600 en los que intervienen potencias de 2, potencias de 3, potencias de 5 y el 7.

Y así puedes obtener todos los divisores del número 12600 sin que se te escape ninguno.

Y tú ¿conocías este algoritmo que nos permite hallar todos los criterios de divisibilidad? ¿Sabías cómo calcular todos los divisores de un número? Como siempre, si hay algo que no te ha quedado claro, quieres comentar o proponer cualquier otro tema para que hable sobre él, déjalo en comentarios

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Bibliografía.

• Bujalance, E., Bujalance, J. A., Costa, A. F., Martínez, E.; 2005; Elementos de matemática discreta; 3ª edición; Ed. Sanz y Torres; Madrid.
• Cilleruelo, J.; Apuntes de teoría de números; Universidad autónoma de Madrid; http://matematicas.uam.es/~franciscojavier.cilleruelo/Curso/capitulo%208.pdf [Consultado 10-agosto-2020]
• Delgado Pineda, M., Muñoz Bouzo, M. J.; 2010; Lenguaje matemático, conjuntos y números; 1ª edición; Ed. Sanz y Torres; Madrid; ISBN: 978-84-92948-30-7.
• Martín san Segundo, P. E., Martín García, J. P., Martín García, L. P.; 2015; Matemática discreta; 1ª edición; Servicio de publicaciones Universidad Católica de Ávila; Ávila; ISBN: 978-84-9040-322-8